解析学の問題について教えてください。

【問題】

2次元実ベクトル空間をV2とし、...解析学の問題について教えてください。

【問題】

2次元実ベクトル空間をV2とし、2点x=(a1,a2)とy=（b1,b2）において、

d(x,y)=max{｜a1-b1｜,｜a2-b2｜}

このとき、この空間(V2，d)が完備であることを証明しなさい。なお、(V2,d)は距離空間であることはすでに示したとしてよいものとする。

図々しいですが、出来るだけ詳しい回答をして頂ければ嬉しいです。

また、可能であれば距離空間になる証明も教えて頂ければ嬉しいです。(頼りすぎで申し訳ないですが・・・)

面倒だとは思いますが、回答よろしくお願いします。いろいろと書籍と探ってみたのですが、

なかなか参考になるものが見つかりませんでした。

そこで、本当に図々しくて申し訳ないのですが、

今日(6日)午後3時までにどなたか完備の証明だけでよいので、回答をして頂けませんでしょうか。

大変面倒だとは思いますが、ご協力よろしくお願いします。この手の話は関数解析の入門書に載っています。

図書館で自分で調べましょう。

信頼できる参考書があると心強いですから，探すことを強くおすすめします。

|a1-b1|≦d(x,y) かつ |a2-b2|≦d(x,y)

であり，

(V2,d) で数列 x[n]=(a1[n],a2[n]) が y=(b1,b2) に収束するための必要十分条件は

a1[n]→b1 かつ a2[n]→b2 である

ことに注意すれば，(V2,d) が完備であることは直ちに証明できます。

なお，d が距離の公理を満たすことは，例えば z=(c1,c2) とおいて

|a1-c1|≦|a1-b1|+|b1-c1|≦d(x,y)+d(y,z)

|a2-c2|≦|a2-b2|+|b2-c2|≦d(x,y)+d(y,z)

なので，u≦w かつ v≦w ⇔ max{u,v}≦w により，

d(x,y)≦d(x,y)+d(y,z)

となる，などのように確かめることができます。